Jugando con doses
¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?. Puedes empezar así 0= 2 - 2/2 - 2/2
¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?. Puedes empezar así 0= 2 - 2/2 - 2/2
Solución:
1=2+2-2-2/2
6=2+2+2+2-2
2=2+2+2-2-2
7=(22/2)-2-2
3=2+2-2+2/2
8=2x2x2+2-2
4=2x2x2-2-2
9=2x2x2+2/2
5=2+2+2-2/2
10=2+2+2+2+2
ACTIVIDAD 1
Descomponer números *Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?. Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13
*Prueba tu habilidad con los números: a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?. Ejemplo: 100=111-11. c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.
Solución SOLUCIONES ACTIVIDAD 1
*Prueba tu habilidad con los números: a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? 10=(9x9+9)/9 10=(99-9)/9
b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?. Ejemplo: 100=111-11. 100=33x3+(3/3) 100=[(44-4)/4]raíz cuadrada de 4
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?. 30=33-3 30=6x6-6 30=5x5+5
ACTIVIDAD 2
Problema de las edades Dos amigos mantienen esta conversación: -¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta el primero. -Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante. -Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano. ¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.
Problema de las edades Dos amigos mantienen esta conversación: -¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta el primero. -Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante. -Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano. ¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 2
En primer lugar descomponemos el número 36 como producto de tres números naturales y calculamos la suma de los tres factores: 36= 1.1.36 (suma 38) 36= 1.2.18 (suma 21) 36= 1.3.12 (suma 16) 36= 1.4.9 (suma 14) 36= 1.6.6 (suma 13) 36= 2.2.9 (suma 13) 36= 2.3.6 (suma 11) 36= 3.3.4 (suma 10)
Naturalmente, nuestro amigo conoce el número de su casa. Entonces, ¿porqué dice que le falta un dato?. Evidentemente, el número de su casa es el 13 que es la única suma repetida en la serie anterior y en consecuencia necesita conocer algo mas sobre los hijos de su amigo. Quizás desconcierte un poco la respuesta de su amigo pero tiene su explicación. Si observamos los dos productos 1.6.6 y 2.2.9 veremos que en ambos aparecen dos números repetidos (hermanos gemelos o mellizos),en este momento comprendemos que la respuesta "La mayor toca el piano" nos conduce a la solución "2,2,9" ya que la otra alternativa es imposible.
En primer lugar descomponemos el número 36 como producto de tres números naturales y calculamos la suma de los tres factores: 36= 1.1.36 (suma 38) 36= 1.2.18 (suma 21) 36= 1.3.12 (suma 16) 36= 1.4.9 (suma 14) 36= 1.6.6 (suma 13) 36= 2.2.9 (suma 13) 36= 2.3.6 (suma 11) 36= 3.3.4 (suma 10)
Naturalmente, nuestro amigo conoce el número de su casa. Entonces, ¿porqué dice que le falta un dato?. Evidentemente, el número de su casa es el 13 que es la única suma repetida en la serie anterior y en consecuencia necesita conocer algo mas sobre los hijos de su amigo. Quizás desconcierte un poco la respuesta de su amigo pero tiene su explicación. Si observamos los dos productos 1.6.6 y 2.2.9 veremos que en ambos aparecen dos números repetidos (hermanos gemelos o mellizos),en este momento comprendemos que la respuesta "La mayor toca el piano" nos conduce a la solución "2,2,9" ya que la otra alternativa es imposible.
ACTIVIDAD 3
Jugando con números Te planteo este sencillo juego. -Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.) -Escríbelo en orden inverso (631). -Resta del mayor el menor (631-136=495) -Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta.
¿Crees que es posible?.
Jugando con números Te planteo este sencillo juego. -Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.) -Escríbelo en orden inverso (631). -Resta del mayor el menor (631-136=495) -Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta.
¿Crees que es posible?.
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 3
Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En orden inverso seria cba= c.102+b.10+a. Los restamos (suponiendo a>c): (a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)= (a-c)(100-1)=(a-c).99. Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos: 99.1=99=099 99.2=198 99.3=297 99.4=396 . . Observamos que todos tienen propiedades comunes: *la cifra de las decenas siempre es un nueve *la cifra de las unidades y las centenas suman nueve Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante
Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En orden inverso seria cba= c.102+b.10+a. Los restamos (suponiendo a>c): (a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)= (a-c)(100-1)=(a-c).99. Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos: 99.1=99=099 99.2=198 99.3=297 99.4=396 . . Observamos que todos tienen propiedades comunes: *la cifra de las decenas siempre es un nueve *la cifra de las unidades y las centenas suman nueve Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante
ACTIVIDAD 4
Seguimos jugando con números -Piensa un número de tres cifras y escríbelo. -Escribe el mismo número a continuación del anterior. Habrás obtenido un número de seis cifras. -Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo la operación. -Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11. Divídelo. -Divide el nuevo cociente entre 13. -¿Has obtenido como cociente el número pensado?
Seguimos jugando con números -Piensa un número de tres cifras y escríbelo. -Escribe el mismo número a continuación del anterior. Habrás obtenido un número de seis cifras. -Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo la operación. -Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11. Divídelo. -Divide el nuevo cociente entre 13. -¿Has obtenido como cociente el número pensado?
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 4
Utilizamos de nuevo el cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc". Escrito como potencias de 10: a.102+b.10+c. Escribimos el mismo número a continuación: "abcabc". Es decir, abcabc= a.105+b.104+c.103+a.102+b.10+c= a(105+102)+b(104+10)+c(103+1)= =a.102(103+1)+b.10(103+1)+c(103+1)= (a.102+b.10+c).1001 El resultado siempre es el número inicial multiplicado por 1001. Descomponiendo el número 1001 en factores primos se obtiene que 1001=7.11.13 con lo cual queda aclarado el resultado de este juego.
Utilizamos de nuevo el cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc". Escrito como potencias de 10: a.102+b.10+c. Escribimos el mismo número a continuación: "abcabc". Es decir, abcabc= a.105+b.104+c.103+a.102+b.10+c= a(105+102)+b(104+10)+c(103+1)= =a.102(103+1)+b.10(103+1)+c(103+1)= (a.102+b.10+c).1001 El resultado siempre es el número inicial multiplicado por 1001. Descomponiendo el número 1001 en factores primos se obtiene que 1001=7.11.13 con lo cual queda aclarado el resultado de este juego.
ACTIVIDAD 5
La herencia del Jeque Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte.Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.
Explica la solución dada por el cadí.
La herencia del Jeque Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte.Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.
Explica la solución dada por el cadí.
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 5
La herencia del Jeque En primer lugar hagamos unas cuantas reflexiones sobre el problema: * Si sumamos una mitad, una tercera parte y una novena parte, no se obtiene el total de los 17 camellos (debería ser 17/17) Efectivamente: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9+6+2)/18 = 17/18 * El número 17 (primo) no es múltiplo común de 2, 3 y 9. * Se debe hacer el reparto sin matar ningún camello. Evidentemente, el problema no tiene solución tal y como se presenta. Sin embargo, el cadí intentó dar una solución lo mas aproximada posible y que dejase contentos a los hijos. Se dio cuenta que añadiendo otro camello se obtenía un número (18) múltiplo de 2, 3 y 9 que permitía hacer el reparto exacto y además le permitía recuperar el camello añadido (la suma de las tres fracciones era 17/18, de 18 camellos se repartían 17).
La herencia del Jeque En primer lugar hagamos unas cuantas reflexiones sobre el problema: * Si sumamos una mitad, una tercera parte y una novena parte, no se obtiene el total de los 17 camellos (debería ser 17/17) Efectivamente: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9+6+2)/18 = 17/18 * El número 17 (primo) no es múltiplo común de 2, 3 y 9. * Se debe hacer el reparto sin matar ningún camello. Evidentemente, el problema no tiene solución tal y como se presenta. Sin embargo, el cadí intentó dar una solución lo mas aproximada posible y que dejase contentos a los hijos. Se dio cuenta que añadiendo otro camello se obtenía un número (18) múltiplo de 2, 3 y 9 que permitía hacer el reparto exacto y además le permitía recuperar el camello añadido (la suma de las tres fracciones era 17/18, de 18 camellos se repartían 17).
ACTIVIDAD 6
Números consecutivos a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?. Por ejemplo: 6=1+2+3 9=4+5 23=11+12
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos? c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos? d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos? e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos?
Números consecutivos a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?. Por ejemplo: 6=1+2+3 9=4+5 23=11+12
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos? c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos? d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos? e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos?
SOLUCIONES ACTIVIDAD 6
Números consecutivos a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?.
3=1+2
17=8+9
4
18=5+6+7=3+4+5+6
5=2+3
19=9+10
6=1+2+3
20=2+3+4+5+6
7=3+4
21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6
8
22=4+5+6+7
9=4+5=2+3+4
23=11+12
10=1+2+3+4
24=7+8+9
11=5+6
25=12+13=3+4+5+6+7
12=3+4+5
26=5+6+7+8
13=6+7
27=13+14=2+3+4+5+6+7=8+9+10
14=2+3+4+5
28=1+2+3+4+5+6+7
15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5
29=14+15
16
30=6+7+8+9=4+5+6+7+8=9+10+11
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos? *Los números primos solo pueden generarse por suma de dos consecutivos.(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29). *Los múltiplos de 3 o de 5 que no sean pares (9, 15, 21, 25, 27).
c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos? *Los múltiplos de 3 (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).
d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos? *10, 14, 18, 22, 26, 30.
e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos? Teniendo en cuenta lo anterior y algunas propiedades mas: *Los números potencias de 2 no se pueden descomponer. *Los números 15, 20 ,25 ,30 ,... se pueden descomponer como suma de cinco consecutivos.
Números consecutivos a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?.
3=1+2
17=8+9
4
18=5+6+7=3+4+5+6
5=2+3
19=9+10
6=1+2+3
20=2+3+4+5+6
7=3+4
21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6
8
22=4+5+6+7
9=4+5=2+3+4
23=11+12
10=1+2+3+4
24=7+8+9
11=5+6
25=12+13=3+4+5+6+7
12=3+4+5
26=5+6+7+8
13=6+7
27=13+14=2+3+4+5+6+7=8+9+10
14=2+3+4+5
28=1+2+3+4+5+6+7
15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5
29=14+15
16
30=6+7+8+9=4+5+6+7+8=9+10+11
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos? *Los números primos solo pueden generarse por suma de dos consecutivos.(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29). *Los múltiplos de 3 o de 5 que no sean pares (9, 15, 21, 25, 27).
c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos? *Los múltiplos de 3 (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).
d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos? *10, 14, 18, 22, 26, 30.
e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos? Teniendo en cuenta lo anterior y algunas propiedades mas: *Los números potencias de 2 no se pueden descomponer. *Los números 15, 20 ,25 ,30 ,... se pueden descomponer como suma de cinco consecutivos.
ACTIVIDAD 7
Los sacos de monedas En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.
Los sacos de monedas En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 7
Se toma una moneda del primer saco, dos monedas del segundo, tres del tercero, y así sucesivamente hasta coger ocho monedas del octavo saco. De esta forma tendremos 36 monedas, las cuales pesaremos. si todas ellas fueran auténticas pesarían 360 gramos, pero como hemos tomado alguna moneda del saco de las falsas el peso total será menor, y esto nos permitirá averiguar cuál es le saco que contiene las monedas falsas. Si falta un gramo para los 360, el saco de las falsas es aquel del que cogimos una moneda, si faltan dos gramos es el saco del que tomamos dos, si faltan tres es el tercero, etc.
Se toma una moneda del primer saco, dos monedas del segundo, tres del tercero, y así sucesivamente hasta coger ocho monedas del octavo saco. De esta forma tendremos 36 monedas, las cuales pesaremos. si todas ellas fueran auténticas pesarían 360 gramos, pero como hemos tomado alguna moneda del saco de las falsas el peso total será menor, y esto nos permitirá averiguar cuál es le saco que contiene las monedas falsas. Si falta un gramo para los 360, el saco de las falsas es aquel del que cogimos una moneda, si faltan dos gramos es el saco del que tomamos dos, si faltan tres es el tercero, etc.
ACTIVIDAD 8
Más monedas Aquí tenemos otro problema de monedas que aunque pueda parecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud. Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado una moneda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve monedas son idénticas, salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centigramos menos que las otras. El coleccionista dispone de una balanza muy sensible y se prepara para pesar las monedas y así poder apartar la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?.
Más monedas Aquí tenemos otro problema de monedas que aunque pueda parecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud. Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado una moneda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve monedas son idénticas, salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centigramos menos que las otras. El coleccionista dispone de una balanza muy sensible y se prepara para pesar las monedas y así poder apartar la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?.
SOLUCIÓN ACTIVIDAD 8
Basta con que haga dos pesadas. En la primera pesa seis monedas, poniendo tres en cada platillo, pudiendo darse dos casos:
1) Si pesan igual las de un lado como las del otro, la falsa está entre las tres no pesadas, y en tal caso se aparta una de ellas y pesando las otras dos se averigua cuál es la moneda falsa.
2) En el supuesto de que en la primera pesada se inclinara la balanza hacia un lado indicaría que la moneda falsa estaba en el lado contrario y en este caso en la segunda pesada se hace la operación de pesar dos monedas del grupo en que sabemos se encuentra la falsa.
Basta con que haga dos pesadas. En la primera pesa seis monedas, poniendo tres en cada platillo, pudiendo darse dos casos:
1) Si pesan igual las de un lado como las del otro, la falsa está entre las tres no pesadas, y en tal caso se aparta una de ellas y pesando las otras dos se averigua cuál es la moneda falsa.
2) En el supuesto de que en la primera pesada se inclinara la balanza hacia un lado indicaría que la moneda falsa estaba en el lado contrario y en este caso en la segunda pesada se hace la operación de pesar dos monedas del grupo en que sabemos se encuentra la falsa.
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